積分

概要

ある関数を積分する様子を図でイメージします。

説明

まず、積分の定義は次のようになっています。

\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta ・・・(式1)
\end{align}

右辺の意味をわかりやすくするために、次のような数直線を考えます。

積分する範囲を \(n\) 等分し、1区間の幅を\( \Delta(=\frac{b-a}{n}) \)とします。

このとき、(式1)の右辺の和は、\(n=10\) のとき、

\begin{align}
\sum_{k=1}^{10} f(x_k)\Delta = f(x_1)\Delta + f(x_2)\Delta + ・・・ + f(x_{10})\Delta ・・・(式2)
\end{align}

となり、下図の長方形の面積の和になります。

試してみよう

ここでは \(f(x)=\sqrt{x}\) として、(式1)の右辺の和を計算してみましょう。

積分する範囲( \(a\) から \(b\) )と、分割する数 \(n\) を入力し、「計算」を押してください。

\(n=10,20,…\) と大きくしていくと、和が解析解に近づく様子をみてみましょう。


※ \(a\) は \(0\) 以上の値、 \(n\) は50以下の整数を設定してください

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解析解

(式1)の右辺の和

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