マルコフ推移確率モデルによる劣化予測

概要

下水道管渠の劣化をマルコフ推移確率モデルで予測する場合、
ステップ数によって具体的にどう変化するか調べます。

参考

下水道維持管理について国土交通省が公開している次のページの下部にある、
下水道事業のストックマネジメント実施に関するガイドライン-2015年版-
【付録5】管渠の健全度予測式 に記載されている内容を参考にします。

国土交通省のウェブサイトです。政策、報道発表資料、統計情報、各種申請手続きに関する情報などを掲載しています。

説明

基準年度\(t\)において、劣化なし、緊急度iii、緊急度ii、緊急度iの割合を、

それぞれ \( S_o, S_3, S_2, S_1 \) とします。ここで、\( \sum_{i} S_{i} = 1 \) です。

\begin{align} \boldsymbol{S_t} = \left( \begin{array}{c} S_o \\ S_3 \\ S_2 \\ S_1 \end{array} \right) \end{align}

1ステップ後の状態への遷移行列 \( \boldsymbol{P} \) を、次のように表します。

\begin{align} \boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} p_{oo} & 0 & 0 & 0 \\ p_{o3} & p_{33} & 0 & 0 \\ p_{o2} & p_{32} & p_{22} & 0 \\ p_{o1} & p_{31} & p_{21} & p_{11} \end{pmatrix} \end{align}

\(p_{ij}\) は、緊急度\(i\)から緊急度\(j\)に遷移する確率です。

緊急度\(i\)から必ずいずれかの緊急度に遷移するため、\( \sum_{k} p_{ik} = 1 \)を満たします。

また、経年変化で緊急度が回復することはないため、遷移行列の上三角部分の成分は0です。

\( \boldsymbol{S_t} \) に \( \boldsymbol{P}^n \) を左から作用させることで、\(n\)ステップ後の緊急度の割合 \( \boldsymbol{S}_{t+1} \) が求まります。

パラメータの設定

初期状態での緊急度の割合および推移行列の成分を設定し、

\(n\)ステップ後の緊急度の割合を求めてみましょう。

\(n\)には100以下の整数を入力してください。

初期状態の緊急度の割合

\( S_o = \)

\( S_3 = \)

\( S_2 = \)

\( S_1 = \)

遷移行列の成分

\( p_{oo} = \)
\( p_{o3} = \) \( p_{33} = \)
\( p_{o2} = \) \( p_{32} = \) \( p_{22} = \)
\( p_{o1} = \) \( p_{31} = \) \( p_{21} = \) \( p_{11} = \)

ステップ数 \( n = \)

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\(n\)ステップ後の緊急度割合

緊急度割合の変化

———- 表示ここまで ———-