三角関数(sin,cos)を任意の区間で積分する

概要

三角関数(sin,cos)の積分をする時、様々な性質を利用することが多いです。
ここでは、基本的な形の三角関数 \(\sin(mx), \cos(mx)\)を任意の区間で積分し、その特徴を見ることにします。

次の2種類の積分を考えます。
\begin{eqnarray}
\int_a^b \sin(mx)dx \\
\int_a^b \cos(mx)dx
\end{eqnarray}

まず、三角関数の対称性による基本的な特徴を見てみましょう。
\(m=1\) のとき、\(\sin(x),\cos(x)\)の周期\(2\pi\)で積分すると、プラス部分とマイナス部分が打ち消しあって \(0\) になることがわかります。

\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)dx = 0
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)dx = 0
\end{eqnarray}

好きなパラメータで試してみよう

区間\([a,b]\) と \(m\) を色々と変えて積分してみましょう。
整数でなくても大丈夫です。

下記の条件を満たす \(a,b,m\) を入力し、「表示」ボタンを押してください。
\(a,b\) は、それぞれ [入力値 × \(\pi\)] となります。

  • \(-2\pi \leq a \leq 2\pi\)
  • \(-2\pi \leq b \leq 2\pi\)
  • \(a \lt b\)
  • \(-100 \leq m \leq 100\)
\(a=\) \(\pi\)
\(b=\) \(\pi\)
\(m=\)

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考察

色々と試して見ると、例えば次の特徴が確認できます。

  • \(m\) が整数の時は、\(2\pi\)区間の積分が0になる(周期の整数倍が\(2\pi\)になる)
  • 半周期分の積分(山1つ分の面積)は、\(2/m\) になる

今回は \(\sin(mx)\) と \(\cos(mx)\) を別々に積分しましたが、積 \(\sin(mx) \cos(nx)\) を積分すると別の特徴も見えてきます。
また別の記事で紹介したいと思います。

→(2019/2/26追記)記事を投稿しました。

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