テイラー展開と収束半径

概要

物理学で近似解を求めるためにテイラー展開をよく使っていましたが、
実際のところ近似できているのかよくわかっていませんでした。
EMANさんのページを読むと、対象とする関数の収束半径によっては
注意する必要があるような気がします。

EMANの物理学・物理数学・テイラー展開

ということで、収束半径が無限大の場合とそうでない場合で、
好きな点のまわりでテイラー展開したらどうなるか調べてみます。

対象とする関数

収束半径が無限大の関数の例として \( f(x) = e^x \) を、

収束半径が\(1\)の関数の例として、\( g(x) = log(1+x) \) を考えます。

それぞれの関数を、\( x = x_0 \) まわりでテイラー展開してみましょう。

\( x – x_0 \) が小さいほど、また\(n\)が大きいほど実際の値に近づくことを確認しましょう。

また、\( g(x) \) については \( x – x_0 \) と収束半径の関係に注目しながら確認しましょう。

\( x = \)

\( x_0 = \)

展開する項数(最大20)\( n = \)

\( x=x_0 \) まわりでのテイラー展開の結果

———- 結果表示ここから ———-

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考察

\( x = 2.0, x_0 = 0.0 \)とすると、\( f(x) = e^x \) は\(n\)を大きくすれば近似できますが、
収束半径が\(1\)である\( g(x) = \log(1+x) \)は大変なことになります。
ただ、\( x-x_0 \)が十分小さいことを仮定できれば、
テイラー展開の第2項くらいまでで近似しても大丈夫そうです。

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